巧用结论 简化解题

                     -------以圆锥曲线为例

                 福建省泉州第一中学   曾雪英   邮编 362000

摘要：新课程标准指出：高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。高考作为高中教学效果的重要检验方式，随着教育改革深入，经历了从知识立意、能力立意到素养立意的发展过程。高考数学试卷知识量大，对学生的思维能力，运算能力都有较高的要求，学生普遍反映解题时间紧张。因此教师应引导学生根据已学，进一步探究数学内容的本质以形成结论并应用于解题，帮助学生简化思维过程，减少运算步骤，提高解题的时效性。能否探索结论并应用于简化解题，本质上也反映了学生思维能力的差异，近年高考试题命制也常有这方面的体现。本文就以圆锥曲线这部分为例，谈谈常用结论在高考解题中的应用。

关键词：高考解题  结论应用   圆锥曲线

在新课标全国I卷中解析几何（不含选做）部分的考察结构基本稳定，都是一道解答题加两道选填题。解答题以椭圆或抛物线为主体，选填题基本是另两种曲线的考查，一般一题较易，另一题则会对考生能力有明显区分。在选填题部分，椭圆、双曲线的离心率问题、双曲线的渐近线问题及抛物线的焦半径问题是考查的重点。

圆锥曲线深入探究，可形成非常多的结论，而高考在椭圆与双曲线选填题的命制中，以下结论的应用尤其常见。教师应引导学生加以拓展探究，并强化结论用于解题的训练，提高解题的速度及正确率。

设椭圆方程为：，双曲线方程为：．

设为椭圆（双曲线）两个焦点，是椭圆（双曲线）上一点，记θ=∠F₁PF₂．

结论1 双曲线焦点到渐近线的距离=虚半轴长b．

结论2 ①椭圆：，  ②双曲线：．

结论3 ① 椭圆：焦半径最小值为，最大值为；

② 双曲线：同侧焦半径最小值为，异侧焦半径最小值为．

结论4 ① 椭圆焦点弦中以通径最短； ② 两端点在同一支的双曲线焦点弦中以通径最短．

通径长均为．

结论5 椭圆中 ①，当且仅当P为短轴端点时取“=”，此时θ最大．

              ②设A、B是椭圆长轴两端点，当且仅当P为短轴端点时，最大．

结论6 ① 椭圆：，当且仅当P为短轴端点时取“=”．

② 双曲线：．

结论7 设为椭圆（双曲线）的一条弦，弦中点，当不垂直于对称轴时，则有：

① 椭圆：；    ②双曲线：．

结论8 若是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，设的斜率分别为，则有：①椭圆：；     ②双曲线：．

    注：当椭圆与双曲线的焦点在y轴时，结论需相应改变。

 

下面给出以上结论的应用以供参考：

例1（2014全国I理4）设是双曲线：的一个焦点，则到的一条渐近线的距离为           

简析：由结论1，可得焦点到准线距离等于．

例2 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆C上存在点P，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆C的离心率的取值范围是         

简析：．由结论2①， 故．

例3 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线l交椭圆于两点，若的最大值为5，则b=              

简析：由及，可得，

由结论4 ①可得   ．

例4（2017年全国I文12）设A、B是椭圆长轴两端点．若C上存在点M满足，则实数的取值范围为(   )

A．    B．    C．    D．

简析：选A．由结论5②，知当M为短轴端点时，最大，此时，

    故，．

    当，，得；当，，得；

例5（2018泉州质检理）已知点P是双曲线与圆的一个交点，若点P到轴的距离为，则双曲线的离心率为              

简析：不妨设点在第一象限，由得圆半径为，由已知可得．

设双曲线两焦点为，则．由结论6②得  ，即，，又， ．

例6（2014江西）过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________

简析：由结论7①得：，由结论2① 得：．

例7（2016龙岩质检）设是双曲线的左、右顶点，P是双曲线右支上位于第一象限的动点，设的斜率分别为，则的取值范围为    

简析：由结论8②得，且，则．

 

高考对抛物线的考查基本会涉及抛物线的焦半径或焦点弦长问题，若能应用相关结论，可实现快速解题。以下为抛物线中常用的结论：

以抛物线C：为例，注意：抛物线开口方向不同，结论需相应改变。

设F是C的焦点，A、B是C上两点，设直线的倾斜角为，．

结论1 当直线过焦点时，有：

①，．

②设点在x轴上方，则，．

③ ，当且仅当垂直于对称轴即为通径时取“=”．

④． 

⑤；．

⑥以AB为直径的圆与准线相切；  

⑦以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

结论2：设中点，当不垂直于x轴时，．

下面给出以上部分结论的应用举例以供参考：

例1（2014年新课标1理10）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（   ）.

A．        B．3        C．         D．2

简析：不妨设点在轴下方，则由，得点在线段上，．

过点作垂直，垂足为，则．设直线的倾斜角为，

则直角中，． 由结论1②得．

例2（2017全国I理10）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁、l₂，直线l₁与C交于两点，直线l₂与C交于两点，则的最小值为（  ）

A．16         B．14        C．12         D．10

简析：选A．设直线l₁、l₂倾斜角分别为，由结论1③ 得．

例3（2014全国Ⅱ理10改编）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于两点，O为坐标原点，则的面积为          

简析：由结论1④，可得的面积为．

例4 (2018年全国III理16)已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于两点．若，则________

简析：设AB中点N，点M在以AB为直径的圆N上．由结论1⑥得：

圆N与l切于点M，则MN//x轴，．由结论2，得．

    全国新课标I卷突出对通性通法的考查，但试题命制却也注重能够多视角、多维度、多层次地考查学生的数学思维品质，考查学生对数学本质的理解及学生的数学素养和学习潜能。而善于总结结论，并应用于简化解题，这就是学生数学素养和学习潜力的一种反映。教师在教学中应注意引领学生对各知识板块进行力所能及的探究，并应用结论帮助解题。这即可以激发学生解题兴趣，又能开拓学生思维，提升学生数学能力。